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Konzept

Kosaken (ukrainisch козаки́, kosaky; russisch казаки́/каза́ки, kasaki; ; polnisch kozacy) waren Gemeinschaften freier Reiterverbände, zu denen sich flüchtige russische, ukrainische und polnische Leibeigene, manchmal auch nur Abenteurer oder anderweitig Abtrünnige in den südlichen Steppengebieten Osteuropas (vgl. Wilde Felder) zusammenschlossen. Der Name Kosak stammt aus den Turksprachen, bedeutet in etwa „freier Krieger“ und ist etymologisch mit dem Ethnonym Kasachen verwandt. Nicht mehr zeitgemäß ist die Ansicht, dass es sich bei den Kosaken um die Nachfahren der Kumanen handelt, die in den osteuropäischen Steppengebieten schon vor der mongolischen Invasion lebten. Die slawischen Kosaken gründeten ab dem 16. Jahrhundert eigene Siedlungen und Gemeinschaften und wurden zu Wehrbauern, die sich gegen die häufigen Überfälle asiatischstämmiger Reiternomaden (vor allem Krimtataren) verteidigen mussten. In der Ukraine bildete sich im 17. Jahrhundert das quasistaatliche Kosaken-Hetmanat heraus, das gegen die polnische Herrschaft kämpfte und später als Autonomie ins Russische Zarenreich einging. Bis zum 18. Jahrhundert waren sowohl russische als auch ukrainische Kosaken vom Zarenreich teilweise unabhängig, dann wurden sie nach und nach als freie Kavallerieverbände in die russische Armee integriert. Hauptsiedlungsgebiete der Kosaken waren das Dnepr-, das Don- und das Ural-Gebiet. Traditionell waren die Kosaken hierarchisch unter Atamanen oder Hetmanen organisiert. Die Kosaken spielten eine maßgebliche Rolle bei der russischen Kolonisation Sibiriens sowie des Nordkaukasus.

Wesen

Malcom, mit vollem Namen Malcom Filipe Silva de Oliveira, (* 26. Februar 1997 in São Paulo) ist ein brasilianisch-russischer Fußballspieler. Der Stürmer stand zuletzt beim saudi-arabischen Erstligisten Al-Hilal unter Vertrag und debütierte 2023 in der brasilianischen A-Nationalmannschaft.

Wesen

Juan Manuel Mata García (* 28. April 1988 in Burgos) ist ein spanischer Fußballspieler. Der als äußerst beweglich und flink beschriebene Offensivspieler wird meist auf dem linken Flügel oder im offensiven Mittelfeld eingesetzt. Mit der spanischen Nationalmannschaft wurde er Welt- und Europameister. Mit dem FC Chelsea gewann er 2012 die Champions League und 2013 die Europa League, die er 2017 mit Manchester United ein weiteres Mal gewann.

Wesen

Philip Seymour Hoffman (* 23. Juli 1967 in Fairport, Monroe County, New York; † 2. Februar 2014 in New York City) war ein US-amerikanischer Theater- und Filmschauspieler. Hoffman galt als einer der besten Charakterdarsteller seiner Generation. Als Hauptdarsteller der Filmbiographie Capote wurde er 2006 mit dem Oscar ausgezeichnet.

Konzept

Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ζ {\displaystyle \zeta } (Zeta). Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer der Zahl 1 {\displaystyle 1} . Für Werte s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } mit Realteil größer als 1 {\displaystyle 1} wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Sie lautet: ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \quad } für Re ⁡ ( s ) > 1 {\displaystyle \quad \operatorname {Re} (s)>1} . Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf C ∖ { 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann. Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist der Zusammenhang der Zeta-Funktion mit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache ζ ( s ) ≠ 0 {\displaystyle \zeta (s)\neq 0} für alle komplexen Zahlen s {\displaystyle s} mit Re ⁡ ( s ) ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1} bereits, dass die n {\displaystyle n} -te Primzahl p n {\displaystyle p_{n}} „recht genau“ den Wert n log ⁡ ( n ) {\displaystyle n\log(n)} hat – genauer gesagt folgt lim n → ∞ p n n log ⁡ ( n ) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{n\log(n)}}=1.} Hier bezeichnet log ⁡ ( n ) {\displaystyle \log(n)} den natürlichen Logarithmus von n {\displaystyle n} . Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bisher unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit. Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion in den Bereichen Re ⁡ ( s ) ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)\geq 1} und Re ⁡ ( s ) ≤ 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)\leq 0} gilt als gut verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des kritischen Streifens 0 < Re ⁡ ( s ) < 1 {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1} weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen 1 2 < Re ⁡ ( s ) < 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1} im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms). Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion. Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.